Hukum – Hukum Logika Proposisi

Hukum – hukum logika proposisi ini berguna untuk membuktikan apakah dua buah proposisi majemuk ekuivalen atau tidak. Ekuivalen atau identik disini adalah ketika dua buah pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan. Ekuivalen dapat dilambangkan dengan notasi ≡ atau ⇔.

huk log

Di bawah ini adalah contoh dua proposisi yang memiliki keekuivalenan.  (Lihat pada kolom terakhir masing – masing tabel, nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan kedua proposisi majemuk tersebut sama)

p q p ∧ q ¬ (p ∧ q)
T T T F
T F F T
F T F T
F F F T
p q ¬p ¬q ¬ p ∨ ¬q
T T F F F
T F F T T
F T T F T
F F T T T

Dari kedua tabel di atas, maka dapat disimpulkan

¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬q

Namun, bagaimana jika proposisi majemuk yang akan dibuktikan keekuivalenannya terbentuk dari sejumlah proposisi atomik katakanlah sejumlah n proposisi atomik. Untuk n buah proposisi atomik, akan terbentuk 2n baris pada tabel kebenarannya. Bayangkan jika 8 buah proposisi atomic membentuk masing – masing dua buah proposisi majemuk untuk diuji keekuivalenannya, berarti akan terbentuk 2 x 28 buah baris tabel kebenaran. Nah, agar lebih efektif dan praktis, kita dapat menggunakan hukum – hukum logika proposisi untuk kasus tersebut.

Sebenarnya, hukum – hukum logika proposisi mudah untuk dipahami, karena beberapa hukumnya bisa dibilang mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan real.

Sebagai contoh :

Hukum asosiatif pada hukum aljabar bilangan real adalah (a + b) + c = a + (b + c) yang berlaku juga untuk operasi perkalian.

Mirip dengan hukum asosiatif pada hukum logika proposisi, yaitu p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r yang berlaku juga untuk operator logika ∧ (AND)
Untuk lebih rincinya, tabel berikut akan memperlihatkan hukum – hukum logika proposisi:

Hukum identitas (i) p ∨ F ⇔ p (ii) p ∧ T ⇔ p
Hukum null/ dominasi (i) p ∧ F ⇔ F (ii) p ∨ T ⇔ T
Hukum negasi (i) p ∨ ¬p ⇔ T (ii) p ∧ ¬p ⇔ F
Hukum idempotent (i) p ∨ p ⇔ p (ii) p ∧ p ⇔ p
Hukum involusi   (Negasi Ganda) ¬(¬p) ⇔ p
Hukum absorpsi (i) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (ii) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
Hukum komutatif (i)p ∨ q ⇔ q ∨ p (ii) p ∧ q ⇔ q ∧ p
Hukum asosiatif (i) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
(ii) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
Hukum distributif (i) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(ii) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Hukum De Morgan (i) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
(ii) ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

Contoh penggunaan hukum – hukum logika proposisi untuk membuktikan keekivalenan dua proposisi majemuk bisa dilihat di bawah ini:
Buktikan bahwa p ∨ (q ∧ r) ⇔ p

p ∨ (q ∧ p) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ p) (Hukum Distributif)
⇔ (p ∨ q) ∧ p (Hukum Idempoten)
⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ F) (Hukum identitas)
⇔ p ∨ (q ∧ F) (Hukum distributif)
⇔ p ∨ F (Hukum dominasi)
⇔ p (Hukum identitas)

Sekian tentang Hukum – hukum logika proposisi. Semoga bermanfaat!

Sumber:

Munir, Rinaldi. 2002. Matematika Diskrit. Bandung : INFORMATIKA.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s